Question

已知函數(shù)f（x）=-3x-x³，x∈R，若θ∈[0，

π

2

]時，不等式f（cos²θ-2t）+f（4sinθ-3）≥0恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先研究函數(shù)f（x）=-3x-x³，x∈R的單調性，求導既得，由不等式恒成立進行轉化，再研究θ∈[0，

π

2

]時cos²θ-2t與4sinθ-3取值范圍，分離出參數(shù)t，利用三角函數(shù)的性質求其范圍即得實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：由于f′（x）=-3-3x²＜0恒成立，故函數(shù)函數(shù)f（x）=-3x-x³，x∈R是一個減函數(shù)，由解析式可知，函數(shù)也是一個奇函數(shù)，
又不等式f（cos²θ-2t）+f（4sinθ-3）≥0恒成立，故f（cos²θ-2t）≥-f（4sinθ-3）=f（-4sinθ+3）在θ∈[0，

π

2

]時恒成立
即cos²θ-2t≤-4sinθ+3在θ∈[0，

π

2

]時恒成立
即cos²θ-3+4sinθ≤2t在θ∈[0，

π

2

]時恒成立
即2t≥-sin²θ+4sinθ-2=-（sinθ-2）²+2在θ∈[0，

π

2

]時恒成立
∵θ∈[0，

π

2

]時sinθ∈[0，1]，∴=-（sinθ-2）²+2≤1
∴2t≥1，t≥

1

2

故答案為[

1

2

，+∞)

點評：本題考查函數(shù)單調性的性質，本題是一個恒成立的問題，通過函數(shù)的單調性將其轉化為三角不等式恒成立的問題，再分離常數(shù)，通過求三角函數(shù)的最值得到參數(shù)t的取值范圍．本題考查了轉化化歸的思想，解題的關鍵是將恒等式進行正確轉化，且能根據(jù)所得的形式判斷應該求出三角形函數(shù)的最值以得到參數(shù)滿足的不等式，求參數(shù)，本題思維量較大，難度不小．易因為轉化時不等價出錯．