Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；
（3）若cn=

an•bn

n

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)S_n=2ⁿ，得到S_n-1=2^n-1，兩者相減即可得到a_n的通項(xiàng)公式，當(dāng)n=1時(shí)，求出S₁=a₁=2，分兩種情況：n=1和n≥2寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）分別令n=1，2，3，…，n，列舉出數(shù)列的各項(xiàng)，得到b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3，以上各式相加后，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)后，將b₁=-1代入即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；
（3）分兩種情況：n=1和n≥2，把（1）和（2）中分別求出的兩通項(xiàng)公式代入cn=

an•bn

n

，得到數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，列舉出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，兩邊同乘以2后，兩等式相減后，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)后，即可得到數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵S_n=2ⁿ，∴S_n-1=2^n-1，（n≥2）．
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)，2^1-1=1≠S₁=a₁=2，
∴an=

2  (n=1) 2n-1 (n≥2)

（2）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3，
以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)=

(n-1)(1+2n-3)

2

=(n-1)2．
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n

（3）由題意得cn=

-2  (n=1) (n-2)×2n-1 (n≥2)

∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ=

2(1-2n-1)

1-2

-(n-2)×2n
=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ，
∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列的遞推式確定數(shù)列為等比數(shù)列，在求通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意檢驗(yàn)首項(xiàng)是否滿(mǎn)足通項(xiàng)，會(huì)利用錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列的和，靈活運(yùn)用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．