Question

2．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點．
（1）求AE與D₁F所成的角；
（2）證明：面AED⊥面A₁FD₁．

Answer 1

分析 （1）取AB中點G，連接A₁G，F(xiàn)G．證明D₁F⊥AE即可；
（2）欲證明：面AED⊥面A₁FD₁．根據(jù)面面垂直的判定定理知，只須證明線面垂直：D₁F⊥面AED，即得．

解答 （1）解：取AB中點G，連接A₁G，F(xiàn)G．
因為F是CD的中點，所以GF$\stackrel{∥}{=}$AD，
又A₁D₁$\stackrel{∥}{=}$AD，
所以GF$\stackrel{∥}{=}$A₁D₁，
故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F．
因為△A₁AG≌△ABE，所以A₁G⊥AE，
所以D₁F⊥AE．
即AE與D₁F所成的角是直角；
（2）證明∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體
∴AD⊥面DC₁，
又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F，
∴AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，
∴D₁F⊥面AED，
又D₁F?面A₁FD₁，
∴面AED⊥面A₁FD₁

點評 本題主要考查了異面直線及其所成的角、平面與平面垂直的判定，以及空間想象力、轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．