Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，其上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)l：y=kx+b與圓O：相切，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓右焦點(diǎn)（c，0），則，由此能夠求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由Q_y=kx+b與圓相切，知．由消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0．再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
解答：解：（1）設(shè)橢圓右焦點(diǎn)（c，0）
則
由（1）得a²=3b²代a²-b²=c²得c²=2b²
代（2）得∴
∴
（2）Q_y=kx+b與圓相切
∴
∴
由消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0
又△=12（3k²-b²+1）（3）
，
∴|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=
==
=
=
當(dāng)k=0時(shí)，|AB|²=3，
當(dāng)k≠0時(shí)，
（當(dāng)時(shí)“=”成立）
∴|AB|_max=2
∴
此時(shí)b²=1且（3）式△＞0
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積最大值的計(jì)算，解題時(shí)要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．