Question

4．已知函數(shù)f（x）=4x²-kx-8，x∈[5，20]
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[5，20]上具有單調(diào)性，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[5，20]上恒大于零，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得：$\frac{k}{8}≤5$，或$\frac{k}{8}≥20$，即可求出k的范圍；
（Ⅱ）由已知可得：4x²-kx-8＞0，即：$k＜4x-\frac{8}{x}$對x∈[5，20]恒成立，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\frac{k}{8}≤5$，或$\frac{k}{8}≥20$，解得：k≤40或k≥160
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，40]∪[160，+∞）
（Ⅱ）由已知可得：4x²-kx-8＞0，即：$k＜4x-\frac{8}{x}$對x∈[5，20]恒成立
令$g（x）=4x-\frac{8}{x}$，易見$g（x）=4x-\frac{8}{x}$在[5，20]上為增函數(shù)，
∴$g{（x）_{min}}=g（5）=4×5-\frac{8}{5}=\frac{92}{5}$，
故實數(shù)k的取值范圍是$（-∞，\frac{92}{5}）$．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．