Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）²．
（1）求f（x）的極小值；
（2）討論函數(shù)F（x）=f（x）+2x²-x-2axlnx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由？
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-2x²+4x+t（t為常數(shù)），若使3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)t的值．（e⁷＞10³）

Answer 1

（1）∵f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，
∴f′（x）=3x²-4x+1，
令f′（x）=3x²-4x+1=0，得x₁=

1

3

，x₂=1，
列表討論

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由上表知：f（x）的增區(qū)間是 （-∞，

1

3

），（1，+∞），減區(qū)間是（

1

3

，1），
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極小值f（1）=0．…3分
（2）∵f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，
∴F（x）=f（x）+2x²-x-2axlnx=x³-2axlnx，
∵x＞0，∴由F（x）=x³-2axlnx=0，得x²=2alnx，
∴當(dāng)0≤a＜e時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)a＞e時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．
（3）∵g（x）=e^x-2x²+4x+t，
∴由3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，得
3-x³+2x²-x≤x+m≤e^x-2x²+4x+t在[0，+∞）上恒成立，
∴h₁（x）=x+m-（3-x³+2x²-x）=x³-2x²+2x+m-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∵h(yuǎn)₁′（x）=3x²-4x+2=3（x-

2

3

）²+

2

3

≥

2

3

，
∴h₁（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴h₁（x）在[0，+∞）上的最小值h₁（x）_min=h₁（0）=m-3≥0．
∴m≥3，
∵實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，
∴m=3
h₂（x）=e^x-2x²+4x+t-x-m=e^x-2x²+3x+t-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴h₂（x）=e^x-2x²+3x+t≥3在[0，+∞）上恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，h₂（0）=1+t≥3，
∴t≥2．