在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,三角形AOB是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)O位于直線AB的兩側(cè),且∠APB=
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)P作PH⊥OA交OA于H,求△OHP得周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)P點(diǎn)得坐標(biāo).

【答案】分析:(1)在等腰直角三角形AOB中,利用正弦定理求出點(diǎn)P在以AB為弦,半徑為2的圓弧上,點(diǎn)P位于直線AB的兩側(cè),因此點(diǎn)P的軌跡方程是以O(shè)為圓心,半徑為2,夾在∠AOB內(nèi)的圓。ǘ它c(diǎn)除外),從而求出點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)P(2cosα,2sinα)(α∈(0,))則△OHP的周長(zhǎng)l=2+2cosα+2sinα,然后利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形即可求出最大值,以及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:解:(1)在等腰直角三角形AOB中,AB=2
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230139668602573/SYS201311012301396686025017_DA/2.png">==4
因此,點(diǎn)P在以AB為弦,半徑為2的圓弧上.
又因OA=OB=2,點(diǎn)P位于直線AB的兩側(cè),因此點(diǎn)P的軌跡方程是以O(shè)為圓心,半徑為2,夾在∠AOB內(nèi)的圓。ǘ它c(diǎn)除外)
所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4(x>0,且y>0)
(2)設(shè)P(2cosα,2sinα)(α∈(0,))則
△OHP的周長(zhǎng)l=2+2cosα+2sinα
=2+2sin(α+
所以,當(dāng)α=時(shí),△OHP的周長(zhǎng)l取最大值2+2,此時(shí)P(
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線和圓的方程的應(yīng)用,以及軌跡方程,同時(shí)考查了輔助角公式,同時(shí)考查了計(jì)算求解的能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1.
(Ⅰ)證明函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
(Ⅱ)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的圖象.

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π

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)P作PH⊥OA交OA于H,求△OHP得周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)P點(diǎn)得坐標(biāo).

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已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1.
(1)證明函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的圖象.
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3
2
);曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種:曲線C1是一段余弦曲線(在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,其解析式為y=cosx-1),此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為h1(t);曲線C2是一段拋物線,其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
9
8
,此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為h2(t).
(1)試分別求出函數(shù)h1(t)、h2(t)的表達(dá)式;
(2)要使得點(diǎn)O到BC邊的距離最大,應(yīng)選用哪一種曲線?此時(shí),最大值是多少?

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OC
|=1
,且∠AOC=x,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若x=
3
4
π
,設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn),求|
OC
+
OD
|
的最小值;
(Ⅱ)若x∈[0,
π
2
]
,向量
m
=
BC
n
=(1-cosx,sinx-2cosx)
,求
m
n
的最小值及對(duì)應(yīng)的x值.

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