Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinx•cosx+2cos2x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=m在區(qū)間[

π

12

，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2x+

π

6

)，由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，解得x的范圍，可得f（x）的遞增區(qū)間．
（Ⅱ）因為

π

12

≤x≤

π

2

，所以

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

．令t=2x+

π

6

，則由題意可得函數(shù)y=sint，t∈[

π

3

，

7π

6

]和y=

m

2

的圖象有兩個不同的交點，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sint，t∈[

π

3

，

7π

6

]和y=m的圖象，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，解得 -

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
所以f（x）的遞增區(qū)間是：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）因為

π

12

≤x≤

π

2

，所以

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

．
令t=2x+

π

6

，
“關(guān)于x的方程f（x）=m在[

π

12

，

π

2

]內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根”等價于“函數(shù)y=sint，t∈[

π

3

，

7π

6

]和y=

m

2

的圖象有兩個不同的交點”．
在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sint，t∈[

π

3

，

7π

6

]和y=m的圖象如下：

由圖象可知：要使“函數(shù)y=sint，t∈[

π

3

7π

6

]和y=

m

2

的圖象有兩個不同的交點”，必有

3

2

≤

m

2

＜1，即

3

≤m＜2，
因此m的取值范圍是[

3

，2)．

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．