Question

5．已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，直線l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與雙曲線的一條漸近線交于點A，且△OAF的面積為$\frac{{a}^{2}}{2}$，則該雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為90°．

Answer 1

分析 據(jù)條件設(shè)出點A 的坐標(biāo)，利用△OAF的面積（O為原點），找出a與b的關(guān)系，得到漸近線的斜率，進(jìn)而得到傾斜角，從而得到結(jié)果．

解答 解：雙曲線的漸近線方程是：y=±$\frac{a}$x，右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∵右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點A，
可設(shè)點A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵△OAF的面積為$\frac{{a}^{2}}{2}$，（O為原點），
∴$\frac{1}{2}$c•$\frac{ab}{c}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$，∴$\frac{a}$=1，
∴漸近線的斜率分別為1和-1，
∴兩條漸近線的傾斜角分別為45°，135°，
∴該雙曲線的兩條漸近線的夾角為90°．
故答案為：90°．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率和兩直線的夾角問題，考查三角形的面積計算，屬于中檔題．