Question

課本小結(jié)與復(fù)習(xí)的參考例題中，給大家分別用“綜合法”，“比較法”和“分析法”證明了不等式：已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a²+b²=1，c²+d²=1，則|ac+bd|≤1．這就是著名的柯西（Cauchy．法國(guó)）不等式當(dāng)n=2時(shí)的特例，即（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)成立．
請(qǐng)分別用中文語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔地?cái)⑹隹挛鞑坏仁�，并用一種方法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)柯西不等式的內(nèi)容即：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），結(jié)合文字語(yǔ)言表述，最后利用基本不等式進(jìn)行證明即可得出正確答案．
解答：解：數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔地?cái)⑹隹挛鞑坏仁剑?br />a，b，c，d∈R，有：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)成立；
中文語(yǔ)言簡(jiǎn)潔地?cái)⑹隹挛鞑坏仁剑?br />兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和的積 不小于它們積的和的平方．取等號(hào)的條件是兩列數(shù)對(duì)應(yīng)成比例．
二維形式的證明：（a²+b²）（c²+d²）（a，b，c，d∈R）=a²•c²+b²•d²+a²•d²+b² •c²
=a²•c²+2abcd+b²•d²+a²•d² -2abcd+b²•c²
=（ac+bd）²+（ad-bc）² 2≥（ac+bd） ²，
等號(hào)在且僅在ad-bc=0即ad=bc時(shí)成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二元形式的柯西不等式的內(nèi)容與形式，柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視．