Question

如圖，在棱長為ɑ 的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB．CD．CC₁的中點．
（1）求直線 A₁C與平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求證：平面A B₁D₁∥平面EFG．

Answer 1

分析：（1）欲求直線 A₁C與平面ABCD所成角的正弦的值，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AC為A₁C在平面ABCD的射影，故∠A₁CA為A₁C與平面ABCD所成角，最后在直角三角形中求解即得；
（2）欲證平面AB₁D₁∥平面EFG，根據(jù)面面平行的判定定理可知，只須證明線面平行即可．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中連接BD，則DD₁∥BB₁，DD₁=BB₁，利用直線間的平行關系可證得：D₁B₁∥平面GEF及AB₁∥平面GEF，從而問題解決．

解答：解：（1）∵A₁C∩平面ABCD=C，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中A₁A⊥平面ABCD
∴AC為A₁C在平面ABCD的射影
∴∠A₁CA為A₁C與平面ABCD所成角sinA1CA=

A1A

A1C

=

3

3

正方體的棱長為a∴AC=

2

a，A₁C=

3

a
證明：（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
連接BD，則DD₁∥BB₁，DD₁=BB₁，
∴D₁DBB₁為平行四邊形
∴D₁B₁∥DB
∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點
∴EF∥BD∴EF∥D₁B₁
∵EF?平面GEF，D₁B₁?平面GEF
∴D₁B₁∥平面GEF
同理AB₁∥平面GEF
∵D₁B₁∩AB₁=B₁
∴平面AB₁D₁∥平面EFG．

點評：本題主要考查了直線與平面之間所成角、平面與平面平行的判定、平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．