Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；

（2）對于區(qū)間上的任意不相等的實數(shù)、，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

(1)由得，即與的圖象在上有唯一交點. 設(shè),利用導(dǎo)數(shù)討論出函數(shù)的單調(diào)性，得出答案.
(2) 不妨設(shè)，當(dāng)時，,則在上單調(diào)遞增，則轉(zhuǎn)化為，即在上單調(diào)遞減，所以恒成立，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，從而可求答案.

（1）解：由，得，

設(shè)，，

則問題等價于與的圖象在上有唯一交點，

∵，

∴時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

∵，且時，，

∴.

（2）解：，在上單調(diào)遞增.

不妨設(shè)，

當(dāng)時，,則在上單調(diào)遞增，

，，

∴可化為，

∴，

設(shè)，即，

∵在上單調(diào)遞減，∴恒成立，

即在上恒成立，

∵，∴，

當(dāng)時，，，

∴可化為，

∴，

設(shè)，即，

∵在上單調(diào)遞增，∴恒成立，

即在上恒成立.

∴，∴，

綜上所述：或.