Question

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試．根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分， 現(xiàn)設(shè)n=4，分別以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序時(shí)被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述，
(Ⅰ)寫出X的可能值集合；
(Ⅱ)假設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列；
(Ⅲ)某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有X≤2，
(ⅰ)試按(Ⅱ)中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測(cè)試相互獨(dú)立)；
(ⅱ)你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)X的可能值集合為{0，2，4，6，8}，
在1，2，3，4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，所以a₂，a₄中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于a₁，a₃中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，
因此|1-a₁|+|3-a₃|與|2-a₂|+|4-a₄|的奇偶性相同，
從而X=(|1-a₁|+|3-a₃|)+(|2-a₂|+|4-a₄|)必為偶數(shù)，X的值非負(fù)，且易知其值不大于8。
容易舉出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．
(Ⅱ)可用列表或樹狀圖列出1，2，3，4的一共24種排列，
計(jì)算每種排列下的X值，在等可能的假定下，得到
；
 (Ⅲ)(ⅰ)首先P(X≤2)=P(X=0)+P(X=2)=，將三輪測(cè)試都有X≤2的概率記做p，
由上述結(jié)果和獨(dú)立性假設(shè)，得；
(ⅱ)由于是一個(gè)很小的概率，這表明如果僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試都有X≤2的結(jié)果的可能性很小，所以我們認(rèn)為該品酒師確定有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機(jī)猜測(cè)。