Question

f（x）=

x2+2x+1

x

的值域是（　　）

A．R

B．[4，+∞）

C．[4，+∞）∪（-∞，0]

D．（-∞，0]

Answer 1

分析：將函數(shù)化成f（x）=x+

1

x

+2，利用基本不等式可得：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥2

x• 1 x

+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)f（x）的最小值為f（1）=4，此時(shí)的值域?yàn)閇4，+∞）．同理求得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的最大值為f（-1）=0，得到x＜0時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，0]．由此綜合前面的結(jié)論，即可得到本題的答案．

解答：解：∵f（x）=

x2+2x+1

x

=x+

1

x

+2
∴當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

+2≥2

x• 1 x

+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立
可得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）的最小值為4，即此時(shí)的值域?yàn)閇4，+∞）
又∵當(dāng)x＜0時(shí)，-f（x）+2=（-x）+（-

1

x

）≥2

(-x)• -1 x

=2
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號(hào)成立
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-f（x）+2的最小值為2，因此f（x）的最大值為0
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，0]
綜上所述，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]∪[4，+∞）
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有分式的函數(shù)，求函數(shù)的值域，著重考查了用基本不等式求最值、函數(shù)的值域求法和函數(shù)最值的意義等知識(shí)，屬于中檔題．