Question

如圖所示，平面，四邊形是矩形，，M,N分別是AB,PC的中點，

（1）求平面和平面所成二面角的大小，
（2）求證：平面
（3）當的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的可能范圍.

Answer 1

(1)；（2）詳見解析；（3）

試題分析：(1)求二面角大小時，需先找后求，∵平面，則，又,∴可證面，從而,則就是平面和平面所成二面角的平面角，∵，；（2）可證明直線垂直于面內(nèi)的兩條相交直線，也可利用轉化法，先證明與平行的一直線垂直于面，從而平面，該題中，取中點，連接，可證明四邊形是平行四邊形，從而∥,先證明⊥面，從而平面；（3）異面直線所成的角是空間角，應該轉化為平面角來解決，仍然應該先找后求，由∥，則就是異面直線和所成的角（或其補角），∵,∴面，從而,在中,設，，先確定的范圍，再求的范圍.

試題解析：（1） PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD，故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°       3分
（2）如圖，取PD中點E，連結AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點，∴EN∥CD∥AB ∴AMNE是平行四邊形 ∴MN∥AE，在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線，∴AE⊥PD，又CD⊥AD，CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD。     8分
（3）由∥，則就是異面直線和所成的角（或其補角），∵,∴面，∴,在中，設，，∴,又∵，∴，即異面直線和所成的角的范圍是        12分