Question

下列命題中正確的有

 

．（填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)）
①在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
②若△ABC為銳角三角形，則sinA＞cosB；
③若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則數(shù)列a_n+2a_n+1仍為等差數(shù)列；
④若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則數(shù)列a_n+2a_n+1仍為等比數(shù)列；
⑤當(dāng)x∈(0，

π

2

]時(shí)，y=sinx+

2

sinx

的最小值是2

2

．

Answer 1

分析：①由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B．②因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形所以A+B＞

π

2

所以A＞

π

2

-B兩邊取正弦可得的答案．③設(shè)a_n=a₁+（n-1）d所以b_n=a_n+2a_n+1所以b_n-b_n-1=3d=常數(shù)，④設(shè)a_n=a₁(-

1

2

)n-1所以b_n=a_n+2a_n+1=a₁q^n-1+2a₁qⁿ=0⑤設(shè)t=sinx，則t∈（0，1]所以y=t+

2

t

≥2

2

顯然等號(hào)取不到．

解答：解：①由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B故①正確．
②因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形所以A+B＞

π

2

所以A＞

π

2

-B則sinA＞cosB，故②正確．
③設(shè)a_n=a₁+（n-1）d所以b_n=a_n+2a_n+1=a₁+（n-1）d+2a₁+2nd=3a₁+（3n-1）d所以b_n-b_n-1=3d=常數(shù)，所以③正確．
④設(shè)a_n=a₁(-

1

2

)n-1所以b_n=a_n+2a_n+1=a₁q^n-1+2a₁qⁿ=0所以④不正確．
⑤設(shè)t=sinx，則t∈（0，1]所以y=t+

2

t

≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)t=±

2

時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閠∈（0，1]所以⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理解決三角形問(wèn)題與等差數(shù)列等比數(shù)列定義的應(yīng)用，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉正弦定理與數(shù)列的有關(guān)定義．解決基本不等式問(wèn)題要注意運(yùn)用條件一正二定三相等．