Question

（2013•合肥二模）已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（I）若函數(shù)g（x）=f（x）+x²+ax+2有零點，求實數(shù)a的最大值；
（II）若?x＞0，

f(x)

x

≤x-kx²-1恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I））由函數(shù)g（x）=f（x）+x²+ax+2有零點，即g（x）=xlnx+x²+ax+2在（0，+∞）上有實數(shù)根．
即-a=lnx+x+

2

x

在（0，+∞）上有實數(shù)根．令h（x）=lnx+x+

2

x

，（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的最小值，則-a≤h（x）_min．
（II））由已知?x＞0，

f(x)

x

≤x-kx²-1恒成立?k≤

1

x2

(x-1-lnx)．令g（x）=x-1-lnx，x＞0．利用導(dǎo)數(shù)得出g（x）的最小值即可．

解答：解：（I）∵函數(shù)g（x）=f（x）+x²+ax+2有零點，
∴g（x）=xlnx+x²+ax+2在（0，+∞）上有實數(shù)根．
即-a=lnx+x+

2

x

在（0，+∞）上有實數(shù)根．
令h（x）=lnx+x+

2

x

，（x＞0），則h′(x)=

1

x

+1-

1

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

．

解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．

∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

∴h（x）在x=1時取得極小值，即最小值h（1）=3．

∴-a≥3，解得a≤-3．∴實數(shù)a的最大值為-3．

（II）∵?x＞0，

f(x)

x

≤x-kx²-1恒成立，
∴l(xiāng)nx≤x-1-kx²，即k≤

1

x2

(x-1-lnx)．

令g（x）=x-1-lnx，x＞0．

g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；

令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．

∴當(dāng)x=1時，g（x）取得極小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0，
∴k≤0，即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]．

點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、等價轉(zhuǎn)化的方法等是解題的關(guān)鍵．