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(2009•孝感模擬)已知函數f(x)=xln x.
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)k為正常數,設g(x)=f(x)+f(k-x),求函數g(x)的最小值;
(3)若a>0,b>0證明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b)
分析:(1)先對函數y=f(x)進行求導,然后令導函數大于0(或小于0)求出x的范圍,根據f′(x)>0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間,即可得到答案.
(2)構造函數g(x)=f(x)+f(k-x),(k>0),利用導函數判斷出g(x)的單調性,進一步求出g(x)的最小值為 g(
k
2
)
整理可得證.
(3)先研究f(x)在區(qū)間[-e2,-e-1]上的單調性,再利用導數求解f(x)在區(qū)間[-e2,-e-1]上的最大值問題即可,故只要先求出函數的極值,比較極值和端點處的函數值的大小,最后確定出最大值即得.
解答:解:(1)f′(x)=ln x+1,f′(x)>0,得x>
1
e
;
f′(x)<0,得0<x<
1
e
,
∴f(x)的單調遞增區(qū)間是(
1
e
,+∞),單調遞減區(qū)間是(0,
1
e
).…(3分)
(2)∵g(x)=f(x)+f(k-x)=x ln x+(k-x)ln(k-x),定義域是(0,k)
∴g′(x)=ln x+1-[ln (k-x)+1]=ln
x
k-x
                               …(5分)
由g′(x>0,得
k
2
<x<k,由g′(x<0,得0<x<
k
2
,
∴函數g(x)在(0,
k
2
) 上單調遞減;在(
k
2
,k)上單調遞增,…(7分)
故函數g(x)的最小值是:ymin=g(
k
2
)=kln
k
2
.…(8分)
(3)∵a>0,b>0∴在(2)中取x=
2a
a+b
,k=2,
可得f(
2a
a+b
)+f(2-
2a
a+b
)≥2ln1 f(
2a
a+b
)+f(
2b
a+b
)≥0
2a
a+b
ln
2a
a+b
+
2b
a+b
ln
2b
a+b
≥0
⇒alna+blnb+(a+b)ln2-(a+b)ln(a+b)≥0
⇒f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b)                                   …(12分)
點評:本小題主要考查函數的導數,單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值等基礎知識,考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力,中檔題.
練習冊系列答案
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