Question

把3¹¹表示成k項(xiàng)連續(xù)正整數(shù)的和，則項(xiàng)數(shù)k的最大值為

486

．

Answer 1

分析：可把這k項(xiàng)連續(xù)正整數(shù)看成首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，其和為3¹¹，再解關(guān)于k的一元二次方程即可．

解答：解：設(shè)這k個(gè)正整數(shù)分別為a，a+1，a+2，…，a+k-1，
則這k個(gè)數(shù)的和S=

(k-1)(1=k-1)

2

=3¹¹，
化簡(jiǎn)得，k²+（2a-1）k=2×3¹¹，
利用一元二次方程求根公式，
得k=

(1-2a)+ ( 2a-1)2+8× 311

2

=

(1-2a)+ ( 2a-1)2+24× 310

2

，
由已知條件知k與a都為正整數(shù)，
則（2a-1）²+24×3¹⁰必為平方數(shù)，
所以（2a-1）²=3¹⁰，a=122，
代入得，k=486
故答案為：486．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤．