Question

把3¹¹表示成k項連續(xù)正整數(shù)的和，則項數(shù)k的最大值為

486

．

Answer 1

分析：可把這k項連續(xù)正整數(shù)看成首項為a，公差為1的等差數(shù)列，其和為3¹¹，再解關于k的一元二次方程即可．

解答：解：設這k個正整數(shù)分別為a，a+1，a+2，…，a+k-1，
則這k個數(shù)的和S=

(k-1)(1=k-1)

2

=3¹¹，
化簡得，k²+（2a-1）k=2×3¹¹，
利用一元二次方程求根公式，
得k=

(1-2a)+ ( 2a-1)2+8× 311

2

=

(1-2a)+ ( 2a-1)2+24× 310

2

，
由已知條件知k與a都為正整數(shù)，
則（2a-1）²+24×3¹⁰必為平方數(shù)，
所以（2a-1）²=3¹⁰，a=122，
代入得，k=486
故答案為：486．

點評：本題考查數(shù)列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，避免錯誤．