Question

（2012•四川）如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1，連接EC、ED則sin∠CED=（　�。�

• A．

  3 10

  10

• B．

  10

  10

• C．

  5

  10

• D．

  5

  15

Answer 1

分析：法一：由題意，可得∠CED=∠AED-∠AEC，根據(jù)圖象可得tan∠AED=1，tan∠AEC=

1

2

，從而有tan∠CED=tan（∠AED-∠AEC）=

tan∠AED-tan∠AEC

1+tan∠AEDtan∠AEC

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，再由三角函數(shù)的定義即可求出sin∠CED選出正確選項(xiàng)
法二：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角關(guān)系求正弦；
法三：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦

解答：解：由題設(shè)及圖知∠CED=∠AED-∠AEC，
又正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1
∴tan∠AED=1，tan∠AEC=

1

2

∴tan∠CED=tan（∠AED-∠AEC）=

tan∠AED-tan∠AEC

1+tan∠AEDtan∠AEC

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

由圖知，可依EC所在直線為X軸，以垂直于EC的線向上的方向?yàn)閅軸建立坐標(biāo)系，又∠CED銳角，由三角函數(shù)的定義知，∠CED終邊一點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

10

故sin∠CED=

1

10

=

10

10

故選B
法二：利用余弦定理
在△CED中，根據(jù)圖形可求得ED=

2

，CE=

5

，
由余弦定理得cos∠CED=

5+2-1

2× 2 × 5

=

3 10

10

，
∴sin∠CED=

1- 9 10

=

10

10

故選B
法三：在△CED中，根據(jù)圖形可求得ED=

2

，CE=

5

，∠CDE=135°
由正弦定理得

CE

sin∠CDE

=

CD

sin∠CED

，即sin∠CED=

CDsin∠CDE

CE

=

sin135°

5

=

10

10

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角三角函數(shù)的定義及兩角各與差的正切函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象求出tan∠CED，本題綜合考查了正切的差角公式及三角函數(shù)的定義，綜合性強(qiáng)，知識(shí)性強(qiáng)，題后要注意總結(jié)做題的規(guī)律