函數(shù)f(x)=
2+2x2
+
2x2+2x+1
的最小值為
5
5
．
分析：注意到函數(shù)f（x）是兩個(gè)帶根號(hào)式子的和，由此想到利用向量的性質(zhì)：兩個(gè)向量的長(zhǎng)度之和大于或等于它們的和向量的長(zhǎng)度，并且在它們共線且方向相同時(shí)，等號(hào)成立．因此設(shè)向量
OA
=(x，1)，
OB
=(-x-
1
2
，
1
2
)，可得f（x）=
2
（
|OA|
+
|OB|
）．因?yàn)?span id="a297sej" class="MathJye">
OA
+
OB
=（-
1
2
，
3
2
），所以
|OA
+
OB|
=
(-
1
2
)2+(
3
2
)2
=
10
2
，可得當(dāng)且僅當(dāng)向量
OA
與
OB
共線且同向時(shí)，即x=-
1
3
時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（-
1
3
）=
5
．
解答：解：設(shè)
OA
=(x，1)，
OB
=(-x-
1
2
，
1
2
)，
則
|OA|
=
1+x2
，
|OB|
=
(-x-
1
2
)2+(
1
2
)2
=
x2+x+
1
2

∴f(x)=
2+2x2
+
2x2+2x+1
=
2
（
|OA|
+
|OB|
）
∵
OA
+
OB
=（-
1
2
，
3
2
），且
|OA|
+
|OB|
≥|
OA
+
OB
|
|OA
+
OB|
=
(-
1
2
)2+(
3
2
)2
=
10
2

∴f（x）=
2
（
|OA|
+
|OB|
）≥
2
•
10
2
=
5

當(dāng)且僅當(dāng)向量
OA
與
OB
共線且同向時(shí)，取得最小值，
此時(shí)x=2（-x-
1
2
），即x=-
1
3

所以函數(shù)f（x）的最小值為f（-
1
3
）=
5

故答案為：
5
點(diǎn)評(píng)：本題以求一個(gè)帶根號(hào)的函數(shù)最小值問(wèn)題為載體，著重考查了向量長(zhǎng)度的公式、向量的三角形不等式和函數(shù)的最值及其幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足條件：①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
12
(1+x2)；②f（x）在R上的最小值為0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2-2x
ex
，下列說(shuō)法中正確的有
（1）（3）
（1）（3）
．
（1）f（x）在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)；       
（2）f（x）在x=2+
2
處取得最大值；
（3）f（x）在x=2-
2
處取得最小值； 
（4）f（x）在x=2+
2
處取得極小值
（5）函數(shù)f（x）在R上有三個(gè)不同的零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：四川省成都樹(shù)德中學(xué)2012屆高考適應(yīng)考試(一)數(shù)學(xué)試題文理科 題型：022

對(duì)于函數(shù)f(x)，定義：若存在非零常數(shù)M，T，使函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都滿足f(x＋T)－f(x)＝M，則稱函數(shù)y＝f(x)是準(zhǔn)周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)準(zhǔn)周期．如函數(shù)f(x)＝2x＋sinx是以T＝2π為一個(gè)準(zhǔn)周期且M＝4π的準(zhǔn)周期函數(shù)．下列命題：

①2π是函數(shù)f(x)＝sinx的一個(gè)準(zhǔn)周期；

②f(x)＝x＋(－1)x(x∈z)是以T＝2為一個(gè)準(zhǔn)周期且M＝2的準(zhǔn)周期函數(shù)；

③函數(shù)f(x)＝kx＋b＋Asin(wx＋φ)(k≠0，w＞0)是準(zhǔn)周期函數(shù)；

④如果f(x)是一個(gè)一次函數(shù)與一個(gè)周期函數(shù)的和的形式，則f(x)一定是準(zhǔn)周期函數(shù)；

⑤如果f(x＋1)＝－f(x)則函數(shù)h(x)＝x＋f(x)是以T＝2為一個(gè)準(zhǔn)周期且M＝4的準(zhǔn)周期函數(shù)；其中的真命題是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足條件：①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
1
2
(1+x2)；②f（x）在R上的最小值為0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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