Question

定義在全體實(shí)數(shù)上的奇函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

，要使f^-1（x）＜1，x的取值范圍是（　�。�

• A．(-

  1

  2

  ，

  1

  6

  )
• B．(

  1

  2

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  1

  2

  )
• D．(

  1

  6

  ，+∞)

Answer 1

分析：根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)圖象必過(guò)原點(diǎn)，易求出a值，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)f^-1（x）＜1時(shí)，x的取值范圍即為x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的值域，利用分析法，求出函數(shù)值域即可．

解答：解：∵f(x)=a-

1

2x+1

是定義在R上的奇函數(shù)
∴f(0)=a-

1

2

=0，即a=

1

2

∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

∵x＜1時(shí)，0＜2^x＜2
∴1＜2^x+1＜3
∴

1

3

＜

1

2x+1

＜1
∴-1＜-

1

2x+1

＜-

1

3

∴-

1

2

＜

1

2

-

1

2x+1

＜

1

6

函數(shù)f(x)=

1

2

-

1

2x+1

的在（1，+∞）上的值域?yàn)?span id="6j7bjgs" class="MathJye">(-

1

2

，

1

6

)
又由使f^-1（x）＜1，x的取值范圍
即為f（x）在（1，+∞）上的值域
所以f^-1（x）＜1時(shí)x的取值范圍(-

1

2

，

1

6

)
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇函數(shù)的性質(zhì)，反函數(shù)，其中分析出f^-1（x）＜1時(shí)，x的取值范圍即為x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是解答的關(guān)鍵．