Question

某生產(chǎn)飲料的企業(yè)擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷,在一年內(nèi),預(yù)計(jì)年銷量Q(萬件)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q=(x≥0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元,每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品需再投入32萬元.若每件售價(jià)為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和.

(1)試將利潤y(萬元)表示為年廣告費(fèi)x(萬元)的函數(shù).如果年廣告費(fèi)投入100萬元,企業(yè)是虧損還是盈利?

(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí),企業(yè)年利潤最大?

Answer 1

解：(1)由題意,每年產(chǎn)銷Q萬件,共計(jì)成本為(32Q+3)萬元.

銷售收入是(32Q+3)·150%+x·50%.

∴年利潤y=年收入-年成本-年廣告費(fèi)

=(32Q+3-x)=(32×+3-x)

∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y=

當(dāng)x=100時(shí),y＜0,故當(dāng)年廣告費(fèi)投入100萬元時(shí),企業(yè)虧損.

(2)由y=，可得

令y′=0,則x²+2x-63=0,∴x=-9(舍去)或x=7.

又x∈(0,7)時(shí),y′＞0;x∈(7,+∞)時(shí),y′＜0,

∴y_極大值=42.

又∵在(0,+∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn),

∴y_max=y_極大值=42.

故當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬元時(shí),企業(yè)年利潤最大,最大利潤為42萬元.