Question

【題目】已知圓C過(guò)點(diǎn)A(2,6),且與直線l1: x+y－10=0相切于點(diǎn)B(6,4).

(1)求圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(6,24)的直線l2與圓C交于M,N兩點(diǎn),若△CMN為直角三角形,求直線l2的斜率；

(3)在直線l3: y=x－2上是否存在一點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q向圓C引兩切線,切點(diǎn)為E,F, 使△QEF為正三角形,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的斜率為或者不存在；（3）存在，或.

【解析】

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，半徑為，通過(guò)垂直關(guān)系和半徑關(guān)系求出未知數(shù)即可；

（2）若△CMN為直角三角形,則圓心到直線的距離為，即可求解斜率；

（3）使△QEF為正三角形，即，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，半徑為，圓C過(guò)點(diǎn)A(2,6),且與直線l1: x+y－10=0相切于點(diǎn)B(6,4)，

所以

即，解得，所以

所以圓C的方程：；

（2）過(guò)點(diǎn)P(6,24)的直線l2與圓C交于M,N兩點(diǎn),若△CMN為直角三角形,

，所以△CMN為等腰直角三角形，且，

所以圓心到直線l2的距離為，

當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)，直線方程，

圓心到直線l2的距離為5，符合題意；

當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，

直線方程為，即

圓心到直線l2的距離為，

即，，

解得，

直線的斜率為或者不存在；

（3）若直線l3: y=x－2上存在一點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q向圓C引兩切線,切點(diǎn)為E,F, 使△QEF為正三角形, 即，在中，

設(shè)，即

解得或

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.