Question

已知函數(shù)f(x)滿足ax·f(x)＝b＋f(x)，(a·b≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)對(duì)定義域中任意x都成立．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，{a_n}滿足當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝f(1)＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，，試給出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由得， 　　若，則，不合題意，故，． 　　由，得　�、� 　　由對(duì)定義域中任意都成立，得． 　　由此解得　�、� 　　把②代入①，可得， 　　(2)，即 　　， 　　當(dāng)時(shí)，， 　　當(dāng)時(shí)，， 　　當(dāng)時(shí)，， 　　，由此猜想：． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)，等式成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，就是 　　那么，當(dāng)時(shí)，， 　　 　　 　　這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式也成立． 　　由(1)和(2)可知，等式對(duì)任何都成立，故猜想正確． 　　(2)解法二：，即 　　，即 　　 　　，， 　　由此猜想：． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)，等式成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，就是 　　那么，當(dāng)時(shí)， 　　 　　這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式也成立． 　　由(1)和(2)可知，等式對(duì)任何都成立，故猜想正確．