Question

已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常數(shù)．

(1)若a≠b，求證：函數(shù)f(x)存在極大值和極小值；

(2)設(1)中f(x)取得極大值、極小值時自變量的值分別為x1，x2，設點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直線AB的斜率為－，求函數(shù)f(x)和f′(x)的公共遞減區(qū)間的長度；

(3)若f(x)≥mxf′(x)對于一切x∈R恒成立，求實數(shù)m，a，b滿足的條件．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）公共減區(qū)間為或，長度均為

（3）m＝，a＝b≤0.

【解析】【解析】
(1)證明：

f′(x)＝(x－b)[3x－(2a＋b)]，

因為a≠b，所以b≠，

所以f′(x)＝0有兩個不等實根b和，

所以f(x)存在極大值和極小值．

(2)①當a＝b時，f(x)不存在減區(qū)間；

②當a>b時，由(1)知x1＝b，x2＝，

所以A(b,0)，B，

所以＝－，

即4(a－b)3＝9(a－b)，

所以a－b＝或a－b＝－(舍去)；

③當a<b時，x1＝，x2＝b.

同理可得a－b＝－或a－b＝(舍去)．

綜上，a>b且a－b＝或a<b且a－b＝－.

所以f(x)的減區(qū)間為，即(b，b＋1)或f(x)的減區(qū)間為，即(b－1，b)；

f′(x)的減區(qū)間為或.

所以公共減區(qū)間為或，長度均為.

(3)由題意f(x)≥mxf′(x)，

所以(x－a)(x－b)2≥mx(x－b)[3x－(2a＋b)]，

所以(x－b){(1－3m)x2＋[m(2a＋b)－(a＋b)]x＋ab}≥0.

若m≠，則左邊是一個一次因式乘一個恒正(或恒負)的二次三項式，或者是三個一次因式的積，無論哪種情況，總有一個一次因式的指數(shù)是奇次的，這個因式的零點左右的符號不同，因此不可能恒非負．

所以m＝，

所以(x－b)[(a＋2b)x－3ab]≤0.

若a＋2b＝0，則a＝－2b，所以a＝b＝0；

若a＋2b≠0，則x1＝b，x2＝，

所以

①若b＝0，則a<0；

②若b≠0，則＝1，所以a＝b且b<0.

綜上，m＝，a＝b≤0.