(2011•綿陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(-1,1)上,f(
1
2
)=-1,且當(dāng)x,y∈(-1,1)時(shí),恒有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
).又?jǐn)?shù)列{an}滿足,a1=
1
2
,an+1=
2an
1+an2

(I )證明:f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù)
( II )求f(an)的表達(dá)式;
(III)設(shè)bn=
1
2log2|f(an+1)
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,若T2n+1-Tn
m
15
(其中m∈N*)對(duì)N∈N*恒成立,求m的最小值.
分析:(I)利用賦值法先求出f(0)的值,然后令x=0,y∈(-1,1)可得f (-y)=-f (y),然后根據(jù)奇函數(shù)的定義可得結(jié)論;
(II)令x=an,y=-an,可得f (an)與f (an+1)的關(guān)系,從而可知數(shù)列{f(an)}是以f(a1)=f(
1
2
)=-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,從而求出所求;
(III)先求出bn,表示出前n項(xiàng)和Tn,然后根據(jù)T2n+1-Tn
m
15
(其中m∈N*)對(duì)N∈N*恒成立,只需利用單調(diào)性研究T2n+1-Tn的最大值,建立不等式關(guān)系,解之即可.
解答:(Ⅰ)證明:令x=y=0時(shí),則由已知有f(0)-f(0)=f(
0-0
1-0×0
),
可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),則有f(0)-f(y)=f(
0-y
1-0•y
),即f (-y)=-f (y),
∴f (x)是(-1,1)上的奇函數(shù).…(4分)
(Ⅱ)解:令x=an,y=-an,于是f(an)-f(-an)=f(
2an
1+
a
2
n
),
由已知得2f (an)=f (an+1),
f(an+1)
f(an)
=2

∴數(shù)列{f(an)}是以f(a1)=f(
1
2
)=-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
∴f(an)═1×2n-1=-2n-1…(8分)
(III)解:由(II)得f(an+1)=-2n,于bn=
1
2n

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=
1
2
(1+
1
2
+
1
3
+…
1
n
),
T2n+1=
1
2
(1+
1
2
+
1
3
+…
1
2n+1
),
∴T2n+1-Tn=
1
2
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n+1
).
令k(n)=
1
2
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n+1
).
于是k(n+1)=
1
2
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+3
).
∴k(n+1)-k(n)=
1
2
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+1
)=-
1
4(n+1)(2n+3)
<0.
∴k(n+1)<k(n),即k(n)在N*上單調(diào)遞減,
∴k(n)max=k(1)=T3-T1=
5
12
,
m
15
5
12
即m≥
25
4

∵m∈N*,
∴m的最小值為7.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合,以及函數(shù)的奇偶性和數(shù)列的求和,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力,屬于難題.
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1bn
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(2011•綿陽(yáng)一模)函數(shù)y=
log
1
2
(3x-1)
的定義域?yàn)椋ā 。?/div>

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