Question

已知實數(shù)a同時滿足下列兩個條件：
①函數(shù)f（x）=lg（x²-2ax+a²-a+1）的定義域為R；
②對任意的實數(shù)x，不等式2x+|2x-3a|＞1恒成立．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在①的條件下，求關于x的不等式log_a（-2x²+3x）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）先分別求出滿足條件①的a的取值范圍和滿足條件②的a的取值范圍，然后取這兩個取值范圍的公共部分就是實數(shù)a的取值范圍．
（2）在①的條件下，不等式log_a（-2x²+3x）＞0?

-2x2+3x＞0 -2x2+3x＜1

，解這個不等式組可得答案．

解答：解：（1）求滿足條件①的a的取值范圍，
函數(shù)f（x）的定義域為R?x取任意實數(shù)時，
x²-2ax+a²-a+1＞0恒成立?△＜0，
即△=（-2a）²-4（a²-a+1）＜0
解得：a＜1．
求滿足條件②的a的取值范圍
設g(x)=2x+|2x-3a|=

4x-3a，x≥ 3 2 a 3a，x＜ 3 2 a

由x≥

3a

2

可得，
4x≥6a，得4x-3a≥3a．
說明：當x≥

3a

2

時，g(x)≥3a
又當x＜

3a

2

時g(x)=3a
∴對任意的實數(shù)x，恒有g（x）≥3a
要使得x取任意實數(shù)時，不等式2x+|2x-3a|＞1恒成立，
須且只須3a＞1，解得a＞

1

3

由①②可得，同時滿足條件（i）、（ii）的實數(shù)a的取值范圍為：

1

3

＜a＜1．
（2）∵

1

3

＜a＜1，∴不等式log_a（-2x²+3x）＞0?

-2x2+3x＞0 -2x2+3x＜1

?

2x2-3x＜0 2x2-3x+1＞0

?

0＜x＜ 3 2 x＜ 1 2 或x＞1

，∴0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

．∴不等式log_a（-2x²+3x）＞0的解集是：{x|0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

}．

點評：本題比較難，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化，從而降低解題難度．