【題目】如圖,在正方體中,,分別是棱,的中點(diǎn),為棱上一點(diǎn),平面.

(1)證明:中點(diǎn);

(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)銳二面角的余弦值為.

【解析】試題分析:(1)的中點(diǎn),連接,利用,證得四邊形為平行四邊形,則,所以的中點(diǎn);

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨令正方體的棱長為2,利用兩個(gè)面的法向量求解即可.

試題解析:

(1)證明:取的中點(diǎn),連接,因?yàn)?/span>,所以的中點(diǎn),又的中點(diǎn),所以,因?yàn)?/span>平面平面,平面平面,所以,即,又,所以四邊形為平行四邊形,則,所以的中點(diǎn).

(2)解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨令正方體的棱長為2,則,可得,,設(shè)是平面的法向量,則.令,得.

易得平面的一個(gè)法向量為

所以 .

故所求銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切. 是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖, 中點(diǎn),且平面 .已知.

(1)求直線所成角;

(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù), .

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)已知,若函數(shù)恒成立,試確定的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】自出生之日起,人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化,變化由線為.根據(jù)心理學(xué)家的統(tǒng)計(jì),人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時(shí)間周期分別為23天、28天、33.每個(gè)節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個(gè)階段.以上三個(gè)節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日,這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.臨界日的前半期為高潮期,后半期為低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置),已知小英的生日是2003320日(每年按365天計(jì)算).

1)請寫出小英的體力、情緒和智力節(jié)律曲線的函數(shù);

2)試判斷小英在2019422日三種節(jié)律各處于什么階段,當(dāng)日小英是否適合參加某項(xiàng)體育競技比賽?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某鮮奶店每天以每瓶3元的價(jià)格從牧場購進(jìn)若干瓶鮮牛奶,然后以每瓶7元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的鮮牛奶作垃圾處理.

(1)若鮮奶店一天購進(jìn)30瓶鮮牛奶,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:瓶,)的函數(shù)解析式;

(2)鮮奶店記錄了100天鮮牛奶的日需求量(單位:瓶),繪制出如下的柱形圖(例如:日需求量為25瓶時(shí),頻數(shù)為5):

100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率

(。┤粼擋r奶店一天購進(jìn)30瓶鮮奶,表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望

(ⅱ)若該鮮奶店計(jì)劃一天購進(jìn)29瓶或30瓶鮮牛奶,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)29瓶還是30瓶?請說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進(jìn)行調(diào)查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖的的值;

(2)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由.

(3)估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某連鎖經(jīng)營公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤額如下表:

商店名稱

A

B

C

D

E

銷售額x/千萬元

3

5

6

7

9

利潤額y/百萬元

2

3

3

4

5

1)畫出散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)圖,說明兩個(gè)變量是否線性相關(guān);

2)用最小二乘法計(jì)算利潤額y對銷售額x的線性回歸方程;

3)當(dāng)銷售額為4千萬元時(shí),估計(jì)利潤額的大小.

(參考公式:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了調(diào)查觀眾對某熱播電視劇的喜愛程度,某電視臺在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了8名觀眾作問卷調(diào)查,得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示:

1)計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷的平均得分;

(2)計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷得分的方差;

(3)若從甲地被抽取的8名觀眾中再邀請2名進(jìn)行深入調(diào)研,求這2名觀眾中恰有1人的問卷調(diào)查成績在90分以上的概率.

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