Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為，設(shè)其前n項(xiàng)和為，且對(duì)有，．

（1）設(shè)，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（3）是否存在正整數(shù)m，k，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出m，k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（2）存在，，或，

【解析】

（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，由遞推關(guān)系知為等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式（2）由（1）知，可得，根據(jù)累乘法即可求出（3）由裂項(xiàng)相消法求出，假設(shè)存在正整數(shù)m，k，使，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)化簡(jiǎn)計(jì)算可得，存在正整數(shù)m，k使，，成等差數(shù)列.

（1）因?yàn)?/span>①，，

所以時(shí)，，得．

當(dāng)時(shí)，②，

①-②得，

因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)時(shí)，有．

所以數(shù)列為等差數(shù)列．

（2）因?yàn)?/span>，公差，得．

所以，得．

所以,

得，即．

（3）

．

因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，即，

化簡(jiǎn)得．

因?yàn)?/span>，所以時(shí)，，（舍去）；時(shí)，，；

時(shí)，，．

綜上，存在，或，．