Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右兩焦點，以線段F₁F₂為邊作正三角形MF₁F₂，若邊MF₁與雙曲線的交點為P，且

MP

=3

PF1

，則雙曲線的離心率e=

13 +1

3

．

Answer 1

分析：根據

MP

=3

PF1

，得到MP=3PF₁，設F₁F₂=2c，可得AF₁，AF₂，最后根據雙曲線的定義，得2a=|AF₁-AF₂|，利用雙曲線的離心率的公式，可得該雙曲線的離心率．

解答：解：F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右兩焦點，如圖．
∴線段F₁F₂為邊作正三角形△MF₁F₂
∴MF₁=F₁F₂=2c，（c是雙曲線的半焦距）
又∵

MP

=3

PF1

，∴MP=3PF₁，
∴PF₁=

c

2

，PF₂=

PN2+NF22

=

( c 2 )2+( 3 c)2

=

13

2

c
∵P在雙曲線上，
∴Rt△PF₁F₂中，PF₁=

1

2

c，PF₂=

13

2

c，
根據雙曲線的定義，得2a=|PF₂-PF₁|=

13

2

c-

c

2

∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

4

13 -1

=

13 +1

3

．
故答案為：

13 +1

3

．

點評：本題給出以雙曲線的焦距為邊長的等邊三角形，其一邊上的P點在雙曲線上，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質，屬于基礎題．