Question

求以坐標軸為對稱軸，一焦點為(0，5

2

)且截直線y=3x-2所得弦的中點的橫坐標為

1

2

的橢圓方程．

Answer 1

分析：由題意，設橢圓方程為

y2

a 2

+

x2

b2

=1，與直線y=3x-2消去y得關于x的一元二次方程．利用根與系數(shù)的關系結合中點坐標公式，得x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

=1，再由橢圓的c=5

2

，得a²-b²=50，兩式聯(lián)解得a²=75，b²=25，從而得到所求橢圓的方程．

解答：解：∵橢圓一個焦點為(0，5

2

)，
∴橢圓是焦點在y軸的橢圓，設方程為

y2

a 2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）
將橢圓方程與直線y=3x-2消去y，得（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0
設直線y=3x-2與橢圓交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

=1…①
又∵a²-b²=（5

2

）²=50…②
∴①②聯(lián)解，得a²=75，b²=25
因此，所求橢圓的方程為：

y2

75

+

x2

25

=1

點評：本題給出焦點在y軸上的一個橢圓，在已知橢圓被直線截得弦的中點橫坐標的情況下，求橢圓的方程，著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和直線與橢圓位置關系等知識，屬于中檔題．