Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a_n≥1，a₁=1，且a_n+1-a_n=，n∈N₊．
（1）記b_n=（a_n-）²，n∈N₊，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）對?k∈N₊，是否總?m∈N₊使得a_n=k？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+1-a_n=，可得b_n+1-b_n=a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，進(jìn)而可得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；           
（2）求出b_n=+2（n-1）=2n-，根據(jù)b_n=（a_n-）²，a_n≥1，即可求{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)?k∈N₊，總?m∈N₊使得a_m=k，可建立等式，從而求得m=，而k（k-1）總為偶數(shù)且非負(fù)，由此可得結(jié)論
解答：（1）證明：∵a_n+1-a_n=，
∴a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
∴b_n+1-b_n=a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
∵a₁=1，b₁=（a₁-）²=
∴數(shù)列{b_n}是以為首項，2為公差的等差數(shù)列；           
（2）解：由（1）得b_n=+2（n-1）=2n-，∴（a_n-）²=2n-
∵a_n≥1，∴a_n=+；
（3）解：設(shè)?k∈N₊，總?m∈N₊使得a_m=k，即
整理得m=，而k（k-1）總為偶數(shù)且非負(fù)，
故m=滿足題意．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．