Question

15．如圖在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的直線與直線l：x=-1垂直，垂足為Q，點(diǎn)F（1，0）滿足$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）證明：以線段PF為直徑的圓與y軸相切．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則Q（-1，y），通過(guò)向量的數(shù)量積求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）根據(jù)題意，利用拋物線的定義與線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，算出PF中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于PF長(zhǎng)的一半，即可得出以PF為直徑的圓與y軸相切．

解答 （1）解：設(shè)P（x，y），則Q（-1，y），
∵$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}$，F(xiàn)（1，0），
∴（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），…（2分）
∴2（x+1）=-2（x-1）+y²，∴y²=4x，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x；----------------------------（5分）
（2）證明：根據(jù)題意，可得拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)P（m，n），PF的中點(diǎn)為A（x₁，y₁），
可得x₁=$\frac{1}{2}$（1+m），
由拋物線的定義，得|PF|=|PQ|=m+1，
∴x₁=$\frac{1}{2}$|PF|，即點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于以PF為直徑的圓的半徑．
因此，以PF為直徑的圓與y軸相切．--------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．