Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，且當x=

1

2

時，函數(shù)f(x)=

1

2

anx2-an+1x取得極值．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅱ）在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n+1-b_n=log₂a_2n-1，求b₂₁的值

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意f′(

1

2

)=0得an+1=

1

2

an，再由a1=

1

2

≠0能求出an=

1

2n

．
（Ⅱ）因為bn+1-bn=log2a2n-1=log2

1

22n-1

=1-2n，
所以b₂₁-b₂₀=-39，b₂₀-b₁₉=-37，b₁₉-b₁₈=-35，，b₂-b₁=-1
疊加能得到b₂₁．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=a_nx-a_n+1由題意f′(

1

2

)=0得an+1=

1

2

an，（6分）
又∵a1=

1

2

≠0所以數(shù)列{a_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列所以an=

1

2n

（8分）
（Ⅱ）因為bn+1-bn=log2a2n-1=log2

1

22n-1

=1-2n，（10分）
所以b₂₁-b₂₀=-39，b₂₀-b₁₉=-37，b₁₉-b₁₈=-35，，b₂-b₁=-1
疊加得b₂₁-b₁=-400把b₁=1代入得b₂₁=-399（13分）

點評：本題考查數(shù)列的遞推式和導數(shù)的運算，解題時要注意疊加法的合理運用．