Question

已知函數(shù)，滿足f′（0）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程在[0，2]恰有兩個不同的實根，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)f'（0）=1求出m的值代入函數(shù)f（x），然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減求單調(diào)區(qū)間．
（2）將函數(shù)f（x）的解析式代入方程得，
然后組成函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和極值點求解．
解答：解：（1），∵f′（0）=1，∴m=1．
∴，
令（舍去）．
當時，f'（x）＞0
∴f（x）在上是增函數(shù)；
當時，f'（x）＜0
∴f（x）在上是減函數(shù)．
（2），
由，
得，
設(shè)，=
當x∈（-1，0）時，h'（x）＞0，則h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，則h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，則h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
而h（0）=-c，，h（2）=ln3-1-c
在[0，2]恰有兩個不同的實根等價于
∴實數(shù)c的取值范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負之間的關(guān)系，即當導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．