Question

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1．
（Ⅰ）求BF的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面AEC₁F的距離．

Answer 1

分析：解法1：
（1）因?yàn)槎嗝骟w是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC₁F所截面而得到的，所以AF∥EC₁，AE∥FC₁，過E作EH∥BC交CC₁于H，則CH=BE=1，所以DF=C₁H=2．故BF=

BD2+DF2

=2

6

．
（2）在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見的題型，同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．本題采用的是“找垂面法”：即找（作）出一個(gè)過該點(diǎn)的平面與已知平面垂直，然后過該點(diǎn)作其交線的垂線，則得點(diǎn)到平面的垂線段．延長(zhǎng)C₁E與CB交于G，連AG，則平面AEC₁F與平面ABCD相交于AG．過C作CM⊥AG，垂足為M，連C₁M，由三垂線定理可知AG⊥C₁M．由于AG⊥面C₁MC，且AG?面AEC₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC．在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足為Q，則CQ的長(zhǎng)即為C到平面AEC₁F的距離．
解法2：
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DF為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）．設(shè)F（0，0，z）．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁媯�(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
（1）由AEC₁F為平行四邊形，運(yùn)用向量的模的計(jì)算方法，可得BF的長(zhǎng)度；
（2）運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算點(diǎn)到平面的距離，可以先設(shè)出此平面的法向量，設(shè)

n1

為平面AEC₁F的法向量，顯然

n1

不垂直于平面ADF，故可設(shè)

n1

=（x，y，1）．進(jìn)一步可以求得C到平面AEC₁F的距離．

解答：解法1：（Ⅰ）過E作EH∥BC交CC₁于H，則CH=BE=1，EH∥AD，且EH=AD．
又∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH．
∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁．∴DF=C₁H=2．∴BF=

BD2+DF2

=2

6

．
（Ⅱ）延長(zhǎng)C₁E與CB交于G，連AG，
則平面AEC₁F與平面ABCD相交于AG．
過C作CM⊥AG，垂足為M，連C₁M，
由三垂線定理可知AG⊥C₁M．由于AG⊥面C₁MC，且
AG?面AEC₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC．在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足為Q，則CQ的長(zhǎng)即為C到平面AEC₁F的距離．
由

EB

CC1

=

BG

CG

可得，BG=1，從而AG=

AB2+BG2

=

17

．
由∠GAB=∠MCG知，CM=3cosMCG=3cosGAB=3×

4

17

=

12

17

，∴CQ=

CM×CC1

MC1

=

3× 12 17

32+ 122 17

=

4 33

11

解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）．設(shè)F（0，0，z）．
∵AEC₁F為平行四邊形，∴由AEC₁F為平行四邊形，∴由

AF

=

EC1

得，（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．∴F（0，0，2）．∴

EF

=（-2，-4，2）．于是|

BF

|=2

6

，即BF的長(zhǎng)為2

6

．
（II）設(shè)

n1

為平面AEC₁F的法向量，顯然

n1

不垂直于平面ADF，故可設(shè)

n1

=（x，y，1）．

n1 • AE =0 n1 • AF =0

?

0×x+4×y+1=0 -2×x+0×y+2=0

即

4y+1=0 -2x+2=0

∴

x=1 y=- 1 4 .

又

CC1

=（0，0，3），設(shè)

CC1

與

n

的夾角為a，則cosα=

CC1 • n1

| CC1 |•| n1 |

3

3× 1+ 1 16 +1

=

4 33

33

．
∴C到平面AEC₁F的距離為d=|

CC1

|cosα=3×

4 33

33

=

4 33

11

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系、點(diǎn)到面的距離等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．