Question

已知函數(shù)f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值以及對(duì)應(yīng)的x值．
（2）若函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）（a＞0）對(duì)稱(chēng)，求a的最小值．
（3）做出函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式及半角公式的變形，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，化成關(guān)于某個(gè)角的正弦．
利用正弦取的最小值的條件求出f（x）的最小值以及對(duì)應(yīng)的x值．
（2）由 2a+

π

3

=kπ，求出  a=

1

2

kπ-

π

6

，故a的最小值

π

3

．
（3）利用函數(shù)的周期等于π，據(jù)五點(diǎn)法作圖的步驟，從區(qū)間的前端點(diǎn)開(kāi)始，每隔

π

4

個(gè)單位取一個(gè)點(diǎn)，
得到圖象上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用平滑的曲線連接．

解答：解：f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x=（sinx+

3

cosx+sinx）cosx-

3

sin2x 
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
（1）當(dāng)且僅當(dāng)2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

5π

12

(k∈Z)時(shí)，f（x）有最小值-2
（2）由已知函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）（a＞0）對(duì)稱(chēng)，
可得 2a+

π

3

=kπ，k∈z，所以a=

1

2

kπ-

π

6

，k∈z．
因?yàn)閍＞0，所以k=1時(shí)，a有最小值

π

3

．
（3）∵0≤x≤π，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

，
列表：

作圖

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的三角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值及對(duì)稱(chēng)中心以及五點(diǎn)法作圖的方法．