Question

10．已知函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0）（e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)1＜a＜e時(shí)，求f（x）單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）=e^x-exf'（x）=e^x-e，通過當(dāng)0≤x＜1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=e^x-ax+a-e．構(gòu)造g（x）=f'（x）=e^x-ax+a-e，求出導(dǎo)數(shù)g'（x）=e^x-a．判斷單調(diào)性求出最小值，設(shè)h（x）=2x-xlnx-e（x＞1），求出h'（x）=1-lnx．判斷單調(diào)性求出最值，通過e-1＜a＜e，求解即可．

解答 解：（1）∵$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0），a=0∴f（x）=e^x-exf'（x）=e^x-e．…（1分）
∴當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．          …（3分）
又f'（1）=0，∴f（x）的最小值f（x）_min=f（x）_極小=f（1）=0．…（4分）
（2）∵$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0），
∴f'（x）=e^x-ax+a-e．
設(shè)g（x）=f'（x）=e^x-ax+a-e，則g'（x）=e^x-a．
∵a＞1，∴g'（lna）=0，當(dāng)0≤x＜lna時(shí)，g'（x）＜0，f'（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞lna時(shí)，g'（x）＞0，f'（x）單調(diào)遞增．            …（6分）
∴f'（x）_min=f'（x）_極小=f'（lna）=2a-alna-e．
設(shè)h（x）=2x-xlnx-e（x＞1），則h'（x）=1-lnx．
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞e時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴h（x）_max=h（x）_極大=h（e）=0，即a=e時(shí)，f'（x）_min取得最大值0，
所以當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f'（x）_min＜0．…（7分）
若1＜a≤e-1，則f'（0）=1+a-e≤0，f'（1）=0，
∴0≤x＜1時(shí)，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
即函數(shù)f（x）有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間．…（9分）
若e-1＜a＜e，則f'（0）=1+a-e＞0，∴存在x₀∈（0，lna），使得f'（x₀）=0．
又f'（1）=0∴0≤x＜x₀或x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
x₀＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．即函數(shù)f（x）有三個(gè)單調(diào)區(qū)間．      …（11分）
綜上所述，當(dāng)1＜a≤e-1時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，當(dāng)e-1＜a＜e且a≠e時(shí)，函數(shù)f（x）有三個(gè)單調(diào)區(qū)間．                         …（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，二次導(dǎo)數(shù)的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．