Question

已知拋物線(xiàn)C的方程為y²=2x，焦點(diǎn)為F，
（1）若C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為D，過(guò)D的直線(xiàn)l與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且|

.

FA

|=2|

.

FB

|，求直線(xiàn)l的斜率；
（2）設(shè)點(diǎn)P是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R，N在y軸上，圓M：（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN面積的最小值．

Answer 1

（1）由拋物線(xiàn)C的方程為y²=2x，得其焦點(diǎn)F（

1

2

，0），
準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-

1

2

，所以D（-

1

2

，0），
由題意設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k（k≠0），則直線(xiàn)l的方程為y=kx+

k

2

．
聯(lián)立

y=kx+ k 2 y2=2x

，得4k²x²+（4k²-8）x+k²=0．
設(shè)直線(xiàn)l與C交于A(yíng)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2

k2

-1，x1x2=

1

4

①
由|

.

FA

|=2|

.

FB

|，得x1-2x2=

1

2

②
由①②解得x1=1，x2=

1

4

，k=±

2 2

3

．
代入△=（4k²-8）²-16k⁴中大于0成立，
所以k=±

2 2

3

；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線(xiàn)PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線(xiàn)PR的距離為1，
即

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化簡(jiǎn)上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
根據(jù)求根公式，可得b-c=

4x02+4y02-8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．
故△PRN的面積為S=

1

2

(b-c)x0=

x02

x0-2

=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥2

(x0-2)• 4 x0-2

+4=8，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時(shí)成立．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2

2

）或（4，-2

2

）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2

2

）或（4，-2

2

）時(shí)，△PRN的面積取最小值8．