Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n=，其中α，β是方程x²-x-1=0的兩個(gè)根．
（1）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）若數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)都是正整數(shù)，試證明：任意相鄰兩項(xiàng)的最大公約數(shù)均為1；
（3）若β＜α，b_n=，n=1，2，…，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用α，β是方程x²-x-1=0的兩個(gè)根，作差a_n+2-（a_n+1+a_n），可得結(jié)論；
（2）由（1）與更相減損術(shù)可得：對(duì)任意正整數(shù)n，（a_n+2，a_n+1）=（a_n+1+a_n，a_n+1）=（a_n，a_n+1），由此可得結(jié)論；（3）由α，β是方程x²-x-1=0的兩個(gè)根且β＜α，結(jié)合aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…b^n-1），利用放縮法，即可證得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵α，β是方程x²-x-1=0的兩個(gè)根，
∴α²-α-1=0，β²-β-1=0
∴對(duì)任意正整數(shù)n，a_n+2-（a_n+1+a_n）==0
∴a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）解：由（1）與更相減損術(shù)可得：對(duì)任意正整數(shù)n，（a_n+2，a_n+1）=（a_n+1+a_n，a_n+1）=（a_n，a_n+1），
∴（a_n，a_n+1）=（a₂，a₁）=（a₂，1）=1，
∴任意相鄰兩項(xiàng)的最大公約數(shù)均為1；
故命題成立；
（3）解：∵α，β是方程x²-x-1=0的兩個(gè)根且β＜α，
∴由aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…b^n-1）可得：b_n==
＜=
∴＜=1+＜=1+=1+1-＜2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)，考查數(shù)列與不等式的結(jié)合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．