Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足an+2-2an+1+an=0(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

1

n(12-an)

，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，求證：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）首先判斷數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通項公式即得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）將通項裂項bn=

1

n(12-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，再求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵an+2-2an+1+an=0(n∈N*)，
∴2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
∵a₁=8，a₄=2，公差d=

a4-a1

4-1

=-2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-2n+10，
（2）證明：bn=

1

n(12-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

- 

1

n+1

)=

1

2

(1-

1

n+1

)＜

1

2

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是明確數(shù)列通項的特征，從而選擇合適的方法．