Question

把“楊輝三角形”向左對(duì)齊如圖所示，分別按圖中虛線，由右上至左下把劃到的數(shù)相加，其和寫在虛線左下端點(diǎn)（左邊豎線的左側(cè)）處，把這些和由上至下排列得一個(gè)數(shù)列{a_n}．
（1）觀察數(shù)列{a_n}，寫出一個(gè)你能發(fā)現(xiàn)的遞推公式（不必證明）；
（2）設(shè)（a_n+2-Aa_n+1）=B（a_n+1-Aa_n），求A，B的值，并求a_n．

Answer 1

分析：（1）利用題設(shè)條件，先分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，從中尋找規(guī)律，能夠發(fā)現(xiàn)遞推公式．
（2）利用多項(xiàng)式恒等解方程組，能夠求出A，B的值，并能求出a_n．

解答：解：（1）a1=

C

0 0

=1，a2

=C

0 1

=1，
a3=

C

0 2

+C

1 1

=2=a₁+a₂，
a₄=

C

0 3

+

C

1 2

=3=a₂+a₃，
a₅=

C

0 4

+

C

1 3

+

C

2 2

=5=a₃+a₄，
…
∴a_n+2=a_n+a_n+1，（n∈N^*）．
故a₁=a₂，a_n+2=a_n+a_n+1，（n∈N^*）．
（2）∵（a_n+2-Aa_n+1）=B（a_n+1-Aa_n），
a_n+2=a_n+a_n+1，
∴按照多項(xiàng)式恒等定理，有 A+B=1，AB=-1，
因此A，B是一元二次方程x²-x-1=0的兩根，
解得A=

1- 5

2

，B=

1+ 5

2

，或A=

1+ 5

2

，B=

1- 5

2

．
∴a_n=

1

5

[（

1+ 5

2

）ⁿ-（

1- 5

2

）ⁿ]，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，注意多項(xiàng)式恒等定理的靈活運(yùn)用．