【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線與曲線的公切線的方程;
(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,求證:關(guān)于的方程有唯一解.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)求兩條曲線的公切線,分別求出各自的切線,然后兩條切線為同一條直線,結(jié)合兩個(gè)方程求解;
(2)要證明關(guān)于的方程有唯一解,只要證明即可,由于當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,不可能有兩個(gè)零點(diǎn),故不可能有兩個(gè)極值點(diǎn),故,利用得,又,接下來(lái)只要證明,即,令,則只要證明即可,用導(dǎo)數(shù)即可證明.
(1)曲線在切點(diǎn)處的切線方程為
,即,
曲線在切點(diǎn)處的切線方程為
,即,
由曲線與曲線存在公切線,
得,得,即.
令,則,
,解得,∴在上單調(diào)遞增,
,解得,∴在上單調(diào)遞減,
又,∴,則,
故公切線方程為.
(2)要證明關(guān)于的方程有唯一解,
只要證明,
先證明:.
∵有兩個(gè)極值點(diǎn),
∴有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
令,則,
當(dāng)時(shí),恒成立,∴單調(diào)遞增,不可能有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),,則,∴在上單調(diào)遞增,
,則,∴在上單調(diào)遞減,
又時(shí),,時(shí),,
∴,得,∴.
易知,
由,得,,
∴.
下面再證明:.
,
令,則只需證,
令,
則,
∴,得.
∴有唯一解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)曲線在點(diǎn)處的切線為,是否存在這樣的點(diǎn)使得直線與曲線也相切,若存在,判斷滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,,平面.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),關(guān)于x的方程有三個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái),人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的軌跡為,下列結(jié)論正確的是( )
A. 的方程為
B. 在軸上存在異于的兩定點(diǎn),使得
C. 當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí),射線是的平分線
D. 在上存在點(diǎn),使得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一種新的驗(yàn)血技術(shù)可以提高血液檢測(cè)效率.現(xiàn)某專業(yè)檢測(cè)機(jī)構(gòu)提取了份血液樣本,其中只有1份呈陽(yáng)性,并設(shè)計(jì)了如下混合檢測(cè)方案:先隨機(jī)對(duì)其中份血液樣本分別取樣,然后再混合在一起進(jìn)行檢測(cè),若檢測(cè)結(jié)果為陰性,則對(duì)另外3份血液逐一檢測(cè),直到確定呈陽(yáng)性的血液為止;若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性,測(cè)對(duì)這份血液再逐一檢測(cè),直到確定呈陽(yáng)性的血液為止.
(1)若,求恰好經(jīng)過(guò)3次檢測(cè)而確定呈陽(yáng)性的血液的事件概率;
(2)若,宜采用以上方案檢測(cè)而確定呈陽(yáng)性的血液所需次數(shù)為,
①求的概率分布;
②求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知菱形的對(duì)角線交于點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),,,將三角形沿線段折起到的位置,,如圖2所示.
(Ⅰ)證明:平面 平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠為生產(chǎn)一種精密管件研發(fā)了一臺(tái)生產(chǎn)該精密管件的車床,該精密管件有內(nèi)外兩個(gè)口徑,監(jiān)管部門(mén)規(guī)定“口徑誤差”的計(jì)算方式為:管件內(nèi)外兩個(gè)口徑實(shí)際長(zhǎng)分別為,標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)分別為則“口徑誤差”為只要“口徑誤差”不超過(guò)就認(rèn)為合格,已知這臺(tái)車床分晝夜兩個(gè)獨(dú)立批次生產(chǎn).工廠質(zhì)檢部在兩個(gè)批次生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取40件作為樣本,經(jīng)檢測(cè)其中晝批次的40個(gè)樣本中有4個(gè)不合格品,夜批次的40個(gè)樣本中有10個(gè)不合格品.
(Ⅰ)以上述樣本的頻率作為概率,在晝夜兩個(gè)批次中分別抽取2件產(chǎn)品,求其中恰有1件不合格產(chǎn)品的概率;
(Ⅱ)若每批次各生產(chǎn)1000件,已知每件產(chǎn)品的成本為5元,每件合格品的利潤(rùn)為10元;若對(duì)產(chǎn)品檢驗(yàn),則每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2.5元;若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)用戶賠償,這時(shí)生產(chǎn)的每件不合格品工廠要損失25元.以上述樣本的頻率作為概率,以總利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù),分析是否要對(duì)每個(gè)批次的所有產(chǎn)品作檢測(cè)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),圓:,定點(diǎn),點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線交圓的半徑于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡為.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)不垂直于軸且不過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn),若直線、的斜率之和為0,則動(dòng)直線是否一定經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)?若過(guò)一定點(diǎn),則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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