Question

8．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$E：{x^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜1）$的左、右焦點(diǎn)，已知點(diǎn)F₁的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF₁|=2|BF₁|，AF₂⊥x軸，則橢圓E的方程為（　�。�

• A． ${x^2}+\frac{{3{y^2}}}{2}=1$
• B． ${x^2}+\frac{{6{y^2}}}{5}=1$
• C． ${x^2}+\frac{{5{y^2}}}{4}=1$
• D． ${x^2}+\frac{{8{y^2}}}{7}=1$

Answer 1

分析 利用橢圓的性質(zhì)求出A，B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合1=b²+c²，即可求出橢圓的方程．

解答 解：由題意橢圓$E：{x^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜1）$，a=1，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），AF₂⊥x軸，∴|AF₂|=b²，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，b²），
設(shè)B（x，y），則
∵|AF₁|=2|F₁B|，
∴（-c-c，-b²）=2（x+c，y）
∴B（-2c，-$\frac{1}{2}$b²），
代入橢圓方程可得：4c²+$\frac{1}{4}$b²=1，
∵1=b²+c²，
∴b²=$\frac{4}{5}$，
∴x²+$\frac{5}{4}{y}^{2}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．