Question

函數(shù)f（x）對于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0恒成立．
（1）證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=-2，求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值；
（3）解關(guān)于x的不等式

1

2

f（-2x²）-f（x）＞

1

2

f（4x）-f（-2）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對任意的實(shí)數(shù)x，y都有均有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，得f（0）=0，然后令y=-x即可利用定義求證函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）先令且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由已知得  f（x₂-x₁）＜0，然后利用f（x+y）=f（x）+f（y）求出函數(shù)為減函數(shù)，再利用單調(diào)性求最大值；
（3）先利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性去函數(shù)符號，然后解不等式．

解答： 解：（1）證明：令x=y=0得f（0）=0，再令y=-x即得f（-x）=-f（x）則f（x）是奇函數(shù)，
（2）設(shè)任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由已知得  f（x₂-x₁）＜0①
又f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）②
由①②可知f（x₁）＞f（x₂），
由函數(shù)的單調(diào)性定義知f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
∴x∈[-2，2]時(shí)，f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-f（1+1）=-2f（1）=4，
∴當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)f（x）的最大值為4．
（3）由已知得f（-2x²）-f（4x）＞2[f（x）-f（-2）]
由（1）知f（x）是奇函數(shù)，
∴上式又可化為f（-2x²-4x）＞2[f（x+2）]=f（x+2）+f（x+2）=f（2x+4）
由（2）知f（x）是R上的減函數(shù)，
∴上式即-2x²-4x＜2x+4
化簡得（x+2）（x+1）＞0，
∴原不等式的解集為{x|x＜-2，或x＞-1}．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法．