Question

已知3

a

+4

b

+5

c

=

0

且|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，則

a

•(

b

+

c

)=

 

．

Answer 1

分析：由已知條件推導(dǎo)出向量3

a

，4

b

，5

c

構(gòu)成一個封閉的三角形ABC，根據(jù)勾股定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，由此能求出結(jié)果．

解答：解：∵|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，
設(shè)向量

a

，

b

，

c

分別是向量3

a

，4

b

，5

c

的單位向量，
3

a

+4

b

+5

c

=0，
∴向量3

a

，4

b

，5

c

構(gòu)成一個封閉的三角形ABC，
向量

CB

=3

a

，

BA

=5

c

，

AC

=4

b

，
根據(jù)勾股定理，△ABC是直角三角形，
且∠ACB=90°，cos＜

a

，

c

＞=-

3

5

，
∴

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
∴

a

•(

b

+

c

)=

a

•

b

+

a

•

c

=

a

•

c

=|

a

|•|

c

|•cos＜

a

，

c

＞
=1×1×（-

3

5

）
=-

3

5

．
故答案為：-

3

5

．

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，解題時要認真審題，合理地構(gòu)造三角形，用勾股定理解題是關(guān)鍵步驟．