Question

如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A，B分別為長(zhǎng)軸和短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)FB⊥AB時(shí)，此類(lèi)橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”．類(lèi)比“黃金橢圓”，可推出“黃金雙曲線(xiàn)”的離心率為（　�。�

• A、

  5 -1

  2

• B、

  5 +1

  2

• C、

  3 -1

  2

• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：在三角形AFB中，分別求出AB，F(xiàn)A，F(xiàn)B，再由勾股定理，結(jié)合離心率公式以及范圍，解方程即可求得雙曲線(xiàn)的離心率．

解答： 解：在三角形AFB中，|FB|=

b2+c2

，
|AB|=

a2+b2

=c，|FA|=a+c．
由FB⊥AB，則
（a+c）²=（b²+c²）+c²=3c²-a²，
整理得c²-ac-a²=0，即e²-e-1=0，
解得e=

1± 5

2

，
由于雙曲線(xiàn)的e＞1，
即有e=

1+ 5

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查勾股定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．