【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn),F為線段BC上的動點(diǎn).
(1)求證:AE⊥平面PBC;
(2)試確定點(diǎn)F的位置,使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.
【答案】(1)見解析(2)當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時,平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°
【解析】
(1)證明.,推出平面.得到.證明,得到平面.然后證明平面平面.
(2)分別以的方向?yàn)?/span>軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長為2,求出為平面的法向量,平面的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解即可.
解:(1)∵PA⊥平面ABCD,BC平面ABCD
∴PA⊥BC
∵ABCD為正方形
∴AB⊥BC
又 PA∩AB=A,PA,AB平面PAB
∴BC⊥平面PAB
∴AE平面PAB
∴AE⊥BC
∵PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn)
∴AE⊥PB
又 PB∩BC=B,PB,BC平面PBC
∴AE⊥平面PBC
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A-xyz,
設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)P(0,0,2)E(1,0,1)
∴,,
設(shè)F(2,λ,0)(0≤λ≤2),
∴
設(shè)平面AEF的一個法向量為
則
∴
令y1=2,則
∴
設(shè)平面PCD的一個法向量為
則
∴
令y2=1,則
∴
∵平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°,
∴,
解得λ=1,
∴當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時,平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線過點(diǎn),傾斜角為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在處的切線斜率為2,試求a的值及此時的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(其中…為自然對數(shù)的底數(shù))上有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且4Sn,3Sn+1,2Sn+2成等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=0,bn+1﹣bn=1,設(shè)cn,求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項(xiàng)社會實(shí)踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一、二、三、四年級本科生人數(shù)之比為6:5:5:4,則應(yīng)從一年級中抽取90名學(xué)生
B.10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率為
C.已知變量x與y正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得=3,=3.5,則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是=0.4x+2.3
D.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球,至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】端午節(jié)是我國民間為紀(jì)念愛國詩人屈原的一個傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售情況,隨機(jī)問卷調(diào)查了該市1000名消費(fèi)者在去年端午節(jié)期間的粽子購買量(單位:克),所得數(shù)據(jù)如下表所示:
購買量 | |||||
人數(shù) | 100 | 300 | 400 | 150 | 50 |
將煩率視為概率
(1)試求消費(fèi)者粽子購買量不低于300克的概率;
(2)若該市有100萬名消費(fèi)者,請估計(jì)該市今年在端午節(jié)期間應(yīng)準(zhǔn)備多少千克棕子才能滿足市場需求(以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的購買量).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教育方針,某市要對全市中小學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”情況進(jìn)行了解,決定通過隨機(jī)抽樣選擇幾個樣本校對學(xué)生進(jìn)行體能達(dá)標(biāo)測試,并規(guī)定測試成績低于60分為不合格,否則為合格,若樣本校學(xué)生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%,則該樣本校體能達(dá)標(biāo)為合格.已知某樣本校共有1000名學(xué)生,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測試,首先將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩組,其中甲乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3:2,測試后,兩組各自的成績統(tǒng)計(jì)如下:甲組的平均成績?yōu)?/span>70,方差為16,乙組的平均成績?yōu)?/span>80,方差為36.
(1)估計(jì)該樣本校學(xué)生體能測試的平均成績;
(2)求該樣本校40名學(xué)生測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差s;
(3)假設(shè)該樣本校體能達(dá)標(biāo)測試成績服從正態(tài)分布,用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值估計(jì)該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測試是否合格?
(注:1.本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù);2若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布,則,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,把滿足條件(對任意的)的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)為,判斷是否屬于,并說明理由;
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)為,判斷是否屬于,并說明理由;
(3)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求的取值范圍.
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