如圖,已知ABC-A1B1C1是正三棱柱,D是AC中點,
(I)證明AB1∥平面DBC1
(II)求異面直線AB1與BC1所成的角
(III)求以BC1為棱,DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù).

【答案】分析:(I)要證明線面平行,需要在面上找一條和已知直線平行的直線,根據(jù)四邊形B1BCC1是矩形.連接B1C交BC1于E,則B1E=EC.連接DE,在△AB1C中,AD=DC,得到DE∥AB1,這樣題目得證.
(II)以DB為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系,寫出要用的點的坐標,構造兩個向量的方向向量,方向向量所成的角的余弦值的絕對值就是要求的角的余弦值,本題比較特殊是一個直角.
(III)要求兩個平面所成的角,需要先寫出兩個平面的法向量,其中這兩個平面有一個法向量是已知的,另一個需要設出來,再根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0,寫出一個法向量,根據(jù)向量所成的角得到結果.
解答:解:(Ⅰ)證明:∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,
∴四邊形B1BCC1是矩形.
連接B1C交BC1于E,則B1E=EC.
連接DE,在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1,
又AB1?平面DBC1,DE?平面DBC1,
∴AB1∥平面DBC1.      
(Ⅱ)設D1是A1C1的中點,則DD1⊥平面ABC.
所以,以DB為x軸,DC為y軸,DD1為z軸(如圖)建立空間直角坐標系.
設AB=2,則,C(0,1,0),A(0,-1,0),,
,
,∴,
即,AB1與BC1所成的角為90°.                           
(Ⅲ)∵BC的中點
,
∴可取平面CBC1的法向量為
設平面BC1D的法向量為,

∴可取
,
∴面DBC1與面CBC1所成的二面角為45°.
點評:本題考查利用空間向量求解兩個平面之間的夾角和異面直線所成的角,本題解題的關鍵是建立坐標系,本題理論推導的問題轉化成數(shù)字的運算問題,本題是一個中檔題目.
練習冊系列答案
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5
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5
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MQ
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3

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3
2

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